---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
ИНСТИТУТ КРИОСФЕРЫ ЗЕМЛИ

И.И. Смульский
ФЕНОМЕНЫ СОЛНЦА В ИСТОРИЧЕСКОЙ ПЕРСПЕКТИВЕ

Тюмень 2016
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Организация-депонент: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки «Институт криосферы Земли» Сибирского отделения Российской академии наук, г. Тюмень

Название работы: Феномены солнца в исторической перспективе

Автор: Смульский И.И., (13.04.1944), ФГБОУН «Институт криосферы Земли», г. Тюмень, Российская Федерация

Реферат: В работе рассмотрена теория явлений, связанных с прохождением Солнца на небе при изменении параметров орбитальном и вращательном движении Земли. Автором установлено, что изменение угла наклона экватора к эклиптике происходят от 14.8° до 32.1°. Эти результаты объясняют колебания палеоклимата, а также согласуются с рядом свидетельств палеоастрономии. Для расчета длительности солнечных суток, уравнения времени, долготы светового дня, азимутов суточного движения Солнца, его восходов и заходов, длины и азимута тени гномона, длительности полярных дней и ночей, сезонов года и других явлений разработана программа в среде MathCad. С ее помощью выполнены расчеты феноменов Солнца в современную эпоху и в 4 экстремальных эпохи на интервале 50 тыс. лет назад. Работа представляет интерес для широкого круга специалистов в области наук о Земле и может использоваться студентами при выполнении курсовых и дипломных работ.

Ключевые слова: изменение параметров, орбита, ось Земли, долгота дня, полярная ночь, гномон.
Язык: рус.
Страниц: 66
Ил.: да
Библ.: 24

Title: The Phenomena of the Sun in the Historical Perspective

Authors: Smulsky J.J., Institute of Earth's Cryosphere (IEC), Tyumen, Russian Federation

Abstract:
The paper considers the theory of the phenomena associated with the Sun’s passage in the sky when the parameters of the orbital and rotational motion of the Earth are changing. The author found that the obliquity changes from 14.8° to 32.1°. These results explain the variations of paleoclimate and are consistent with several testimonies of paleoastronomy. The program developed in MathCad to calculate the duration of solar day, equation of time, daylight, azimuths of the daily movement of the Sun, sunrises and sunsets, the length and azimuth of the gnomon shadow, duration of the polar days and nights, of seasons and other phenomena. The phenomena of the Sun in the contemporary epoch and in 4 extreme epochs in the interval of 50 thousand years ago are calculated. The work is of interest to a wide range of specialists in the field of Earth Sciences and can be used by students when doing term papers and dissertations.

Key Words: Changing parameters, orbit, the Earth's axis, duration, day, polar night, gnomon

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Введение

           Новые решения задачи об эволюции вращательного движения Земли [1] - [2] показали, что ось вращения Земли совершает значительные колебания [3] - [4]. На рис. 1 линией 1 показано, что новые изменения угла наклона ε (угол между плоскостями экватора Земли и ее орбиты) происходят от 14.8° до 32.1° при современном его значении 23.4°. В то же время по прежним теориям, например [5] (см. рис. 1, линия 2) угол ε изменялся от 22.21° до 24.43°. На рис. 1 показана эволюция угла наклона ε за прошедшие 200 тыс. лет. Примерно такой же диапазон изменения ε получен при решении задачи за будущие 200 тыс. лет [3]. Из приведенных значений видно, что диапазон колебания угла наклона по новым решениям в 7-8 раз больше, чем по прежним теориям.

Рис. 1. Эволюция угла наклона ε (в радианах) экватора Земли к плоскости ее орбиты за 200 тыс. лет в прошлое. Сравнение новых результатов 1 с результатами прежних теорий 2 на примере работы Дж. Ляскара и др. [5]. В градусах приведены максимальные и минимальные значения угла ε.

          Эти результаты на протяжении нескольких лет проверялись. Задача была решена еще тремя другими методами [4]. Результаты не изменились. Кроме того, полученные в этой задаче изменения параметров вращательного движения Земли на интервале нескольких тысяч лет, для которых имеются наблюдения, совпали с данными наблюдений.

          Как видно из рис. 1, новые решения 1 отличаются от прежних 2 не только амплитудами колебания, но и моментами наступления экстремумов. Эти отличия в эволюции угла наклона ε приводят к таким же существенным отличиям в эволюции инсоляции Земли [3] - [4]. При сопоставлении нового изменения инсоляции за прошедшие 50 тыс. лет с палеоклиматом было установлено [6], что оно объясняет все известные его колебания: суровый ледниковый период 46 тыс. лет назад, сильное потепление 31 тыс. лет назад, последний ледниковый период 16 тыс. лет назад и небольшое потепление 4 тыс. лет назад.

          Существуют свидетельства, что угол наклона ε изменялся более существенно, чем это следует из прежних теорий. Например, М. И. Исрапилов [7] исследовал сотни древних календарей в Дагестане. Он пришел к выводу, что угол наклона ε изменялся от 19-20° до 32-33°. Возраст датировки календарей у него доходит до 65 тыс. лет. Б. Г. Тилак [8] исследовал тексты Вед, Бхагавад-Гиты, Авесты и др. древних источников. В них используются характеристики полярной области, как будто древние арии обитали в ней. Это можно объяснить только большими углами наклона ε. В этом случае полярный круг проходит южнее современного и, дополнительно, на этих широтах становится теплее. Тем самым создаются необходимые для жизни человека условия в полярной области.

          Ряд календарей в Дагестане М. И. Исрапилов [7] называет обсерваториями, т.к. они позволяли определять моменты наступления лунных и солнечных затмений. Таких обсерваторий найдено достаточно много, в том числе Стоунхендж в Англии [9] и Ales Stones на юге Швеции [10]. Многие из них, в том числе последние ориентированы по азимуту восхода Солнца в дни летнего и зимнего солнцестояния. Такие обсерватории и календари называют азимутальными. В зенитных обсерваториях и календарях [7] объекты ориентированы так, чтобы можно было фиксировать зенитные углы солнцестояний, равноденствий и других моментов, важных для хозяйственной деятельности человека. В календарях третьего вида, которые были распространены на Алтае и в Сибири [11], календари выполнялись в виде жезлов, пластин, фигур животных и даже женских украшений. На них насечками или другим способом отмечены дни года и моменты наступления различных феноменов Луны и Солнца. По этим календарям можно определить продолжительность интервалов между днями равноденствий и солнцестояний, а также временные характеристики других астрономических явлений.

          Характеристики календарей зависят от параметров орбитального и вращательного движения Земли, а также от широты места нахождения календаря. Однако зависимость эта сложна и не очевидна. Для понимания механизма функционирования календаря и его расшифровки необходимо использовать теорию солнечных явлений. Имеющееся в астрономии описание этих феноменов достаточно сложное. Оно не позволяет исследователям древних календарей оперативно рассчитывать условия применительно к рассматриваемому календарю и подбирать различные варианты параметров, от которых зависят зафиксированные календарем явления.

          Целью настоящей работы является создание такой теории. В отличие от существующей таковой в астрономии, в ней используется другой алгоритм определения долгот Солнца при его годовом движении. Кроме того, все математические операции алгоритмизированы и представлены в виде программы SunPhnmen.mcd в среде MathCad. Для ориентировки исследователей древних календарей рассчитаны солнечные феномены при современных и при отличающихся от современных параметрах орбитального и вращательного движения Земли. Они взяты для четырех экстремумов ε за последние 50 тыс. лет (см. рис. 1): T = 2.8; 15.32; 31 и 46.44 тыс. лет назад.

2. Геометрические характеристики движения Солнца по небосводу

2.1. Движение Солнца в течение года

          Рассмотрим положение Солнца S над точкой M земной поверхности (рис. 2). Плоскость горизонта в т. M на небесной сфере 1 нанесена горизонтальным кругом HH′. Перпендикуляр к плоскости HH′ пересекает поверхность небесной сферы 1 в точке зенита Z. Солнце S совершает вокруг Земли годовое движение по орбите, которая проектируется на небесную сферу в виде круга эклиптики EE′. Движение происходит против стрелки часов с началом отсчета долготы λ Солнца в точке весеннего равноденствия γ. В этой точке Солнце находится в плоскости экватора AA′, когда из южного полушария переходит в северное.

          Видимое орбитальное движение Солнца вокруг Земли обусловлено неравномерным движением Земли вокруг Солнца по орбите, которая является эллипсом. Относительно неподвижных звезд период движения по орбите P_sd = 365.25636042 дней. Он называется сидерическим годом. В работах [12]-[13] представлен алгоритм расчета долгот Солнца λ_j1, где j1 = 1, 2, …, 365, по дням года T_d,j1 = 1, 2,…, 365. Отсчет дней начинается от момента весеннего равноденствия, т.е. j1 = 0 соответствует моменту равноденствия. Этот алгоритм основан на точном решении задачи двух тел [14]- [15]. Задача рассматривается в полярной системе координат (r, φ_o), где r – расстояние Земли от Солнца, а φ_o – угловое положение Земли на орбите относительно перигелия орбиты. Время t_fp движения Земли по орбите от точки перигелия до точки ее нахождения с углом φ_o рассчитывается по формуле

(1)

где

(2)

R_p – радиус перигелия;
v_p – скорость Земли в перигелии;
α₁ = μ₁/(R_pv_p²) – параметр траектории;
μ₁ = - G(M+m) – параметр взаимодействия;
G – гравитационная постоянная;
M – масса Солнца;
m – масса Земли;
– время движения от перигелия до афелия, которое следует из (2) при φ_o = π. Здесь используется параметр траектории α₁, так как он известен при постановке задачи, а эксцентриситет орбиты e определяется в результате решения задачи двух тел. Для гравитационного взаимодействия эти параметры однозначно связаны: e = - (1 + α₁)/α₁.

Рис. 2. Основные геометрические характеристики Солнца S и наблюдателя M на земной поверхности. Характеристики небесной сферы 1: AA′ - плоскость подвижного экватора; ЕЕ′ - плоскость подвижной эклиптики, ε - угол между плоскостями AA′ и ЕЕ′; N - северный полюс; Характеристики плоскости горизонта НН′: дуга N_rdN = φ – географическая широта точки M на плоскости горизонта; Z – зенит точки M; N_rd, E_st, S_th и W_st – точки Севера, Востока, Юга и Запада, соответственно, на круге горизонта НН′. Характеристики годового движения Солнца по кругу эклиптики ЕЕ′: δ = SB – склонение Солнца; λ = γS – долгота Солнца; точки γ, Е′, γ′ и Е – точки нахождения Солнца в дни весеннего равноденствия, летнего солнцестояния, осеннего равноденствия и зимнего солнцестояния, соответственно; SS₁ – путь Солнца за одни солнечные сутки. Характеристики суточного движения Солнца по кругу S_rM_dS_sM_n: точки S_r, M_d, S_s и M_n положения центра Солнца в моменты восхода, полудня, захода и полуночи, соответственно; z = ∠ ZMS – зенитный угол Солнца; ω = ∠ ZNS – часовой угол Солнца, отсчитываемый от полудня.

          Этот алгоритм отличается от традиционного, основанного на уравнении Кеплера. Он, как уже отмечалось, базируется на точном решении задачи двух тел и является более простым в использовании. Программа Insl2bd.mcd в среде MathCad для расчета долгот λ_j1 и других характеристик инсоляции Земли имеется в свободном доступе: http://www.ikz.ru/~smulski//Data/Insol/. Алгоритм для определения долгот λ_j1 включен в пункты 3-5 программы SunPhnmen.mcd расчета феноменов Солнца, которая представлена в Приложении. Текст программы SunPhnmen.mcd также имеется в свободном доступе: http://www.ikz.ru/~smulski//Data/Insol/.

          Как уже отмечалось, формулами (1) – (2) определяется время движения Земли от точки положения ее перигелия P_E (см. рис. 2). Перигелий относительно восходящего узла γ определяется углом φ_pγ. Относительно Земли Солнце движется по той же орбите, но его перигей P_S сдвинут на 180°, т.е. угол перигея Солнца v = φ_pγ + π. Так как долгота Солнца λ, также отсчитывается от восходящего узла γ (см. рис. 2), то полярный угол φ_o в формулах (1) – (2) выразится через долготу λ так:

(3)

          Итак, формулами (1) – (3) определяется время годового движения Солнца по небесной сфере, т.е. по эклиптике EE′, в зависимости от его долготы λ.

          Эксцентриситет орбиты e, угол перигелия φ_pγ и угол наклона орбиты ε к экватору изменяются со временем. Они определяются в результате решения двух задач об орбитальном и вращательном движении Земли. В рассматриваемых программах в среде MathCad эти параметры в зависимости от времени T, считываются из файла, например, файла OrAl-200.prn – за 200 тысяч лет назад (т.л.н.).

          Положение Солнца S (рис. 2) на эклиптике EE′ известно в любой момент времени t. А угловое расстояние Солнца SB от экватора, т.е. угол cклонения δ, определяется известным в астрономии выражением

(4)

          Вывод выражения (4) имеется в работах [12]-[13]. Отметим, что все используемые в настоящей работе формулы выведены нами. Многие из них известны в астрономии. Однако необходимо осуществлять их вывод по-новому, чтобы быть уверенным в возможности их использования при измененных параметрах орбитального и вращательного движения Земли.

          Если в формулу (4) подставить λ = λ_j1, то мы получим склонение δ_j1 для каждого дня года. В этой формуле и в последующих, с целью упрощения изложения, индекс j1 опускаем. Координатами λ и δ полностью определяется годовое движение Солнца по небосводу. В дальнейшем потребуется угловое расстояние Солнца γB (рис. 2) на экваторе AA′, которое известно в астрономии как прямое восхождение α_S. Здесь индекс S, обозначающий Солнце, введен для отличия при обозначении значком α других параметров.

          В сферическом прямоугольном треугольнике γSB известны углы: B = π/2; γ = ε и две стороны: γS = λ, BS = δ. Согласно преобразованиям сферической тригонометрии, например, формулы (1.1.013) в работе [16] можем записать для неизвестной стороны γB = α_S:

          После подстановки в это выражение δ из (4) получаем прямое восхождения Солнца в следующем виде:

(5)

          В формулу (5) входит долгота Солнца λ, которая изменяется от 0 до 2π. Так как функция arcsin многозначна, то на интервалах λ больших π/2 необходимо выбирать нужные значения по представленному алгоритму.

          Плоскости экватора AA′ и эклиптики EE′ изменяются в пространстве, вследствие чего точка весеннего равноденствия γ по часовой стрелке перемещается по эклиптике за год на 50′′.25641. Как уже отмечалось, годовое движение Солнца проходит по кругу эклиптики EE′ против часовой стрелки, что отражается изменением долготы λ, начиная от точки весеннего равноденствия γ. Поэтому время прохождения Солнцем двух последовательных точек весеннего равноденствия, т.е. тропический год P_tr = 365.24219879 дней, меньше сидерического года P_sd. Для того, чтобы сезоны года не смещались по датам, современный календарь основан на тропическом годе.

          Солнце S при годовом движении по эклиптике EE′ (см. рис. 2) в момент весеннего равноденствия находится в т. γ (λ = 0), а в день летнего солнцестояния Солнце проходит т. E′ (λ = π/2), в момент осеннего равноденствия находится в т. γ′ (λ = π), а в день зимнего солнцестояния проходит т. E (λ = 3π/2). В п. 8 программы SunPhnmen.mcd вычислены моменты в днях прохождения точек лета T_dsm, осени T_dau и зимы T_dwn. Точку весеннего равноденствия, как уже отмечалось, Солнце проходит в момент T_dsp = 0. Так как ряд долгот λ_j1 расположен по целочисленному ряду дней T_d,j1, то эти расчеты проводятся интерполяцией по соседним значением долгот. Продолжительности сезонов: весны, лета, осени и зимы рассчитываются по разностям этих моментов, соответственно:

(6)

          Результаты расчетов моментов наступления сезонов и их длительностей, согласно (6), приведены в табл. 1 для пяти эпох. Как уже отмечалось, четыре эпохи выбраны в моменты наступления экстремумов угла наклона ε. Как видно из табл. 1 величина ε изменяется от 0.25841 до 0.55875 в радианах, или от 14.8° до 32.1° в градусах. В современную эпоху (T = 0) наибольшую длительность имеет лето (ΔT_dsm= 93.654 дня), а наименьшую – зима (ΔT_dwn = 88.981 дня). В эпоху T = 2.8 т.л.н лето имеет еще большую длительность, а наименьшую – осень. В эпоху T = 15.32 т.л.н лето имеет наименьшую длительность, а наибольшую – осень. Аналогичные изменения длительности сезонов происходят в остальные эпохи. Однако эти изменения не очень большие и не превышают 6 дней.

          В таблице 1 приведены длительности сезонов для северного полушария. Эти данные применимы и для южного полушария, если весну заменить осенью, а лето – зимой. Следует отметить, что приведенные в табл. 1 длительности сезонов для современной эпохи (T = 0) совпадают с известными в астрономии.

Таблица 1. Количество дней до начала сезонов в Северном полушарии и их продолжительность в эпохи T наступления экстремумов угла наклона ε: T – время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

2.2 Суточное движение Солнца

          Земля совместно с наблюдателем M (см. рис. 2), кругом горизонта HH′ и меридианом NZE′M_dA′ вращается вокруг оси вращения Земли MN, с угловой скоростью ω_E. Вращение происходит против часовой стрелки. Поэтому Солнце относительно Земли и, в частности, относительно круга горизонта HH′ по часовой стрелке перемещается по кругу S_rM_dS_s параллельно экватору AA′. В точке S_r оно восходит над горизонтом HH′, в точке M_d находится в полдень, а в точке S_s заходит за горизонт, а в точке M_n находится в полночь. Часовой угол ω Солнца S отсчитывается от меридиана NZE′M_dA′, проходящего через точку полдня M_d. Часовой угол ω равняется дуге A′B на круге экватора AA′. Угловое расстояние Солнца от зенита Z определяется дугой ZS = z, где z называется зенитным углом.

          В сферическом треугольнике NZS известны две стороны: NZ = π/2 – φ; NS = π/2 – δ и угол N = ω между ними. Тогда по теореме косинусов [16] cos ZS = cos NZ·cos NS + sin NZ·sinφ NS·cos N он запишется в следующем виде [12]-[13]:

(7)

          Зенитный угол z отсчитывается от точки зенита Z против часовой стрелки. В точке восхода S_r он равен: z = -π/2, в точке захода S_s угол z = π/2. При этих углах из выражения (7) определяется часовой угол заходов и восходов Солнца.

(8)

          В представленном на рис. 2 положении наблюдателя M и Солнца S длительность дня больше длительности ночи. При нахождении Солнца S в полдень в точке E′ длительность дня будет наибольшая. Это точка летнего солнцестояния, по-другому, летнего солнцеворота. До этого момента Солнце каждый день приближалось к зениту Z, а в последующие дни оно будет удаляться от зенита. При нахождении Солнца S в точке E наибольшей будет длительность ночи. Это точка зимнего солнцестояния. А при нахождении Солнца S в точках γ или γ′ его суточное перемещение будет происходить по кругу экватора AA′. Этот круг пересекает круг горизонта HH′ по его диаметру, поэтому время нахождения Солнца над горизонтом и под ним одинаково, т.е. длительность дня равна длительности ночи.

          Если наблюдатель в точке M на рис. 2 будет находиться на большей широте, т.е. дуга N_rdN будет больше, то окружность SM_d не пересечет круг горизонта HH′. В этом случае для наблюдателя M наступит полярный день. При нахождении Солнца S′ в южном полушарии вблизи т. E круг его суточного движения также не пересечет линию горизонта HH′. В этом примере широты для наблюдателя в точке M наступит полярная ночь.

3. Длительность солнечных суток

          Длительность солнечных суток T_sd определяется периодом прохождения Солнца через точку полдня M_d (рис. 2). За время T_sd Солнце S по эклиптике EE′ переместится в точку S₁ с прямым восхождением α_s1 = γB₁, которое определяется формулой (5). В связи с этим полдень наступит при часовом угле ω_sd0 < 2π на величину Δα₀ = α_S1 - α_S, т.е. часовой угол солнечных суток будет

(9)

          Как следует из (5) величина Δα_0,j1 определяется разностью долгот Солнца λ_j1 за два соседних дня. Величина Δλ_j1 изменяется по двум причинам: из-за неравномерного движения Солнца по эллиптической орбите и из-за наклона орбиты под углом ε к плоскости экватора. Из-за наклона одинаковые дуги SS₁ на круге эклиптики EE′ проектируются в неодинаковые дуги BB₁ на круге экватора AA′. Разность прямых восхождений за два соседних дня запишем в виде:

(10)

Тогда по отношению к средней величине Δα_m разность долгот за солнечные сутки будет Δα = Δα₀ - Δα_m и часовой угол солнечных суток запишется

(11)

          А длительность солнечного дня в часах будет иметь вид:

(12)

где 24/2π – коэффициент преобразования дуги, измеряемой в радианах, в часы.

          Нетрудно убедиться, что средняя за год длительность солнечных суток, согласно (12), T_sdm = 24 часа. Тогда отклонение длительности солнечных суток в минутах от средних составляет

(13)

Приведем некоторые значения для 2015 года. Отклонение солнечных суток от средних в день весеннего равноденствия j1 = 1 будет ΔT_sd = 0.297 мин, наибольшее значение ΔT_sd = 0.358 минуты при j1 = 181, и наименьший солнечный день при j1 = 278: ΔT_sd = -0.497 минуты. В современной цивилизации счет времени m происходит по средним солнечным суткам T_sdm. Они делятся на 24 часа, 1 час состоит из 60 минут, а минута – из 60 секунд. За счет отклонения ΔT_sd солнечных суток от средних T_sdm накапливается отличие η₀ солнечного времени от среднего. Последовательное суммирование отклонений запишем в виде

(14)

Найдем среднее отклонение за год

(15)

          Средняя величина отклонения η_0m образуется при счете времени по средним солнечным суткам. Тогда отклонения солнечного времени от среднего солнечного времени будет

(16)

          Величина η в астрономии называется уравнением времени. Поэтому истинное солнечное время m_a в часах будет выражаться через среднее солнечное время m так:

(17)

где m – отсчитывается от полуночи.

          График для уравнения времени η(T_d) приведен на рис. 3. Отклонения времени η для дня весеннего равноденствия j1 = 1 равно η = -7.47 мин, наименьшее значение η_mn = -14.25 мин при j1 = 329, а наибольшее η_mx = 16.43 мин при j1 = 229. Величины отклонения η не отличаются от известных в астрономии [17]. Отличие имеется в начале отсчета времени T_d в днях: в астрономии дни отсчитываются с 1 января, а на рис. 3 – с момента весеннего равноденствия.

          Следует отметить, что по величине отклонения времени η можно также определить отклонение истинных солнечных суток от средних

(18)

Рис. 3. Уравнение времени в современную эпоху 30.12.1949 г.: η – в мин; T_d – в днях от момента весеннего равноденствия.

          Клавдий Птолемей использовал равноденственные часы [18]. Как показано выше, весенние равноденственные сутки больше среднесолнечных на ΔT_sd = 0.297 мин. Если он и предшествующие ему астрономы использовали равноденственное время, оно может отличаться от среднесолнечного времени на величину порядка 10 минут. Роберт Ньютон [19] обвинил Клавдия Птолемея в искажении моментов древних наблюдений, потому что они не совпадают с современной теорией примерно на такое же количество минут. Как видим, одной из причин несовпадения может быть разная длительность использованных часов времени.

          Длительность солнечных суток, согласно (12), определялась разностями долгот λ_j1 – λ_j1-1 за средние солнечные сутки T_sdm = 24 часа. Был рассчитан скорректированный ряд долгот λ_c,j1 по фактической длительности суток T_sd,j1 и повторены расчеты по формулам (9) – (16). Наибольшее отличие скорректированной длительности суток ΔT_sdc от ΔT_sd равно 0.092 сек при j1 = 278. Это составляет относительную погрешность отклонения длительности солнечных суток 0.3%. Поэтому алгоритм расчета (9) – (16) для длительности суток T_sd и уравнения времени η можно использовать без коррекции.

          На рис. 4 изменение длительности солнечных суток ΔT_sd в современную эпоху (T = 0) сопоставлено с этими изменениями в другие четыре эпохи. Как видно время экстремумов ΔT_sd примерно совпадает и приходится на моменты равноденствий (T_d ≈ 0 и T_d ≈ 180) и солнцестояний (T_d ≈ 90 и T_d ≈ 280). При этом изменение длительности солнечных суток происходят в пределах от -0.5 мин до 0.35 мин от средней длительности в 24 часа.

Рис. 4. Отклонение ΔT_sd длительности солнечных суток в эпохи T от средних за год в эти же эпохи: ΔT_sd – в минутах; T – время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

Таблица 2. Изменения параметров уравнения времени по эпохам T: T – время в тыс. лет от 30.12.1949 г.

          В табл. 2 основные параметры уравнения времени η, представленного на рис. 3 для современной эпохи (T = 0), сопоставлены с таковыми для других четырех эпох. Среднее отклонение η_0m, согласно (15), как видно из табл. 2 изменяется в широких пределах: от -4.7 мин в эпоху 31 т.л.н. до 7.8 мин в современную эпоху. Максимальное отклонение η_mx и минимальное η_mn также изменяются в 2-3 раза. В то же время средняя разность прямых восхождений Δα_m за одни сутки, согласно (10), остается неизменной Δα_m = 0.0172. Это является следствием неизменности периодов орбитального и вращательного движения Земли.

          На рис. 2 мы рассматривали вращения Земли со средней угловой скоростью ω_E. Угловая скорость Земли имеет свои независимые колебания [4], [20], но их амплитуда на три порядка меньше амплитуды изменения солнечных суток. Поэтому колебания угловой скорости вращения Земли здесь не учитываются.

4. Долгота светового дня

4.1. Долгота светового дня в течение года

          Длительность светового дня, или долгота дня D₀ в часах определяется (см. рис. 2) суммой часовых углов ω₀ восходов и заходов центра Солнца (8):

(19)

Так как часовой угол ω₀ отсчитывается до центра Солнца, то величина D₀ определяет длительность нахождения над горизонтом HH′ центра Солнца. Световой день начинается с появления края Солнца и заканчивается с опусканием его за горизонт. Кроме того, из-за уменьшения плотности атмосферы с высотой происходит преломление (рефракция) светового луча так, что Солнце видно на угол ρ₉₀ под горизонтом. В общем случае для наблюдаемых на небе объектов отклонение ρ₉₀ при зенитном угле z = 90°, или рефракция, зависит от ряда факторов, которыми для Солнца можно пренебречь. Поэтому в астрономии рефракция принята постоянной и равно ρ₉₀ = 34' [17].

          На рис. 2 часовой угол z показан между центром Солнца и зенитом Z наблюдателя M, находящегося на поверхности Земли. А формулой (7) угол z определяется от центра Земли. Угол p, под которым расстояние наблюдателя от центра Земли видно с Солнца, называется его параллаксом. На угол p необходимо уменьшить рассчитанную по (7) величину зенитного угла. Наибольшая величина параллакса p не превышает 8''.8 [17]. Эта величина в 230 раз меньше величины рефракции ρ₉₀, поэтому параллаксом можно пренебречь.

Рис. 5. Угол θ_ob видимого положения Солнца S_ob при движении наблюдателя M со скоростью v и угол θ действительного положения солнца S.

          Имеется еще один источник искажения положения Солнца на небосводе (см. рис. 5), который обусловлен движением наблюдателя M относительно Солнца S со скоростью v. Это явление называется аберрацией света.

          При движении наблюдателя относительно источника света S происходят изменения всех характеристик света. Точное выражение для измененных характеристик света приведено в работе [21]. При скорости движения v, значительно меньшей скорости света c для угла смещения источника справедливо выражение

(20)

где β = v / c.

          Истинное положение источника S отличается от наблюдаемого положения S_ob на угол σ. Упрощенно, как это принято в астрономии [17], можно рассмотреть движение наблюдателя M относительно Солнца за счет суточного вращения Земли v_rt и за счет ее орбитального движения (v_or) относительно Солнца. При суточном вращении в точках восхода и захода Солнца углы θ между ним и скоростью v_rt близки к 0 и π. Поэтому, согласно (20), угол смещения σ будет близкий к нулю. За счет орбитального движения в этих же точках угол θ между Солнцем и скоростью v_or близок к π/2. В этом случае угол наблюдаемого Солнца будет на величину σ меньше, чем угол истинного. Это будет приводить к более раннему восходу Солнца и более раннему его заходу. Так что на длительность светового дня это явление не оказывает влияние. При этом угол смещения σ не превышает 20'' [17]. Эта величина в 100 раз меньше величины рефракции ρ₉₀, а также меньше неопределенности величины ρ₉₀. Поэтому аберрацией света можно пренебречь.

          Следует отметить, что в силу пренебрежения аберрацией света такое рассмотрение этого явления по составляющим скорости v_or и v_or допустимо. Однако при точном его рассмотрении, необходимо рассматривать полный вектор скорости, его три угла наклона к линии MS_ob (рис. 5). Затем вычислять изменение этих углов по точным формулам в работе [21].

Рис.6. Аберрационное смещение GK = ρ₉₀ края диска Солнца в момент его захода: HH′ – линия горизонта; S_s1 – положение центра Солнца во время захода его края.

          Теперь рассмотрим восходы и заходы верхнего края Солнца. На рис. 6 показано смещение края диска Солнца на угловое расстояние GK = ρ₉₀ ниже уровня горизонта HH′ в момент его захода. Видимый радиус Солнца KS_s1 согласно [17] равен:

(21)

где ρ – расстояние Солнца от Земли, отнесенное к большой полуоси a орбиты Земли. Величина ρ рассчитывается по уравнению траектории в зависимости от долготы λ [14]- [15].

          С учетом (21) дуга GS_s1 будет равна в радианах

(22)

Дуга GS_s1 расположена на окружности большого круга, проходящего через точку зенита Z (рис. 2), поэтому она является приращением зенитного угла, т.е. Δz = GS_s1. Тогда зенитный угол видимого края заходящего Солнца будет

(23)

          Так как часовой угол ω связан с зенитным углом z выражением (7), то часовой угол видимого захода края Солнца можно записать так:

(24)

Так как правая часть по модулю может превышать 1, то перепишем выражение (24) в виде:

(25)

где функция Fn определяется в зависимости от промежуточной функции

(26)

так:

(27)

          Как следует из рис. 2, зенитный угол видимого края восходящего Солнца будет z_0ra = -π/2 -GS_s1, т.е. по модулю такой же, как и z_0a. Поэтому модуль часового угла восхода Солнца будет определяться также выражением (25). Тогда долгота светового дня в радианах равна 2·ω_0a, а в часах запишется так:

(28)

          На рис. 7 показано изменение долготы дня D в течение года на разных широтах. Например, на широте φ = 60° в момент весеннего равноденствия (T_d = 1) D = 12.31 часа, затем она увеличивается до 18.87 часа в момент летнего солнцестояния. В момент осеннего равноденствия D = 12.26 часа, а затем уменьшается до D = 5.87 часа в день зимнего солнцестояния. С уменьшением широты φ экстремумы долготы дня D уменьшаются и приближаются к 12.1 часа на экваторе (φ = 0°).

Рис. 7. Продолжительность (долгота) светового дня в году на разных широтах φ Северного полушария в современную эпоху 30.12.1949 г.

          С увеличением широты φ > 60° наибольшая долгота дня в день летнего солнцестояния приближается к 24 часам. На полярном круге (φ = 90° - ε°) наступает полярный день, который длится 31 сутки. С увеличением широты длительность полярного дня увеличивается до половины года на полюсе. В день зимнего солнцестояния долгота дня с увеличением широты уменьшается до D = 2.17 часа на полярном круге. С дальнейшим увеличением широты наступает полярная ночь.

          Представленная на рис. 7 картина изменения долготы дня совпадает с таковой в астрономии [17].

4.2. Полярные дни и ночи: моменты наступления и длительность

          Рассмотрим моменты наступления полярных дней и ночей и их длительность. Для этого необходимо рассчитать долготы λ этих событий. Как уже отмечалось, полярному дню соответствует долгота (длительность) дня D_d = 24 часа, а полярной ночи D_n = 0 часов. Тогда из (28) получаем часовые углы полярного дня ω_0ad = π и полярной ночи – ω_0an = 0. После подстановки в (25) вместо ω_0a этих значений часового угла, получаем Fn_d = -1 для полярного дня и Fn_n = 1 для полярной ночи. Здесь функция Fn определяется выражением (26). Перепишем его в следующем виде:

          Подставив в это выражение значение sinδ, согласно (4), получим следующее уравнение для долготы λ

(29)

          После возведения (29) в квадрат и преобразований с учетом того, что для рассматриваемого случая Fn² = 1, получаем для sinλ квадратное уравнение

(30)

          Оно имеет два решения, отличающиеся знаками «+» и «-» перед квадратным корнем. Запишем это решение в виде одной формулы:

(31)

где функция со знаком «+» имеет вид:

(32)

Функция Fn02 перед корнем имеет знак «-».

          Чтобы исключить значения по модулю превышающие 1 вводятся функции

(33)

(34)

          Летнее полугодие характеризуется долготами 0 < λ < π, а зимнее – π < λ < 2π. Так как функция Fn1 > 0, то она будет давать летние долготы, а отрицательная функция Fn2 – зимние долготы. Тогда в соответствии с (31) летние долготы полярных дней будут λ_pd = arcsin(Fn1). Эта функция будет давать два решения: для первого λ_pd и второго квадранта λ_pd1. Как следует из рис. 7 меньшее значение соответствует началу полярного дня, а большее – концу. Окончательно долготы начала и конца полярных дней запишутся в виде:

(35)

          Аналогично долготы начала и конца полярных ночей определятся так:

(36)

          Чтобы найти моменты по времени T_d, соответствующие долготам λ_pd, λ_pd1, λ_pn, λ_pn1, необходимо найти индексы j1 соседних долгот. Затем интерполяцией определяются моменты: T_dd и T_dd1 – начала и конца полярного дня, а также T_dn и T_dn1 – начала и конца полярной ночи. Алгоритм вычисления приведен в п. 11 программы SunFhnm.mcd в Приложении, а на рис. 8 они представлены в виде графиков. В области I приблизительно до T_d = 90 дней изображены начала полярных дней в зависимости от широты φ. Разными линиями и точками показаны графики для 5 эпох. Аналогично в области II приблизительно при 90 < T_d < 180 дней этими же линиями показаны моменты T_d окончания полярных дней. Аналогично приблизительно при 180 < T_d < 270 и T_d > 270 изображены начала (III) и окончания (IV) полярных ночей.

Рис. 8. Моменты T_d наступления (I, III) и окончания (II, IV) полярных дней (I, II) и ночей (III, IV) на разных широтах Северного полушария в экстремальные эпохи за последние 50 т.л.н.

          Например, в современную эпоху T = 0 на широте φ = 70° в T_d = 56.88 день от момента весеннего равноденствия наступает полярный день. Он заканчивается в T_d = 128.82 день. Полярная ночь наступает в T_d = 250.05 день и заканчивается в T_d = 302.39 день. С увеличением широты φ начала полярных дней и ночей происходит раньше, а окончание позже. С уменьшением широты φ начала полярных дней отдаляются и приближаются к T_d = 92.8 дню, а начала полярных ночей приближаются к T_d = 275.5 дню. Это происходит на широтах близких к широте полярного круга, которая для современной эпохи равна 66.56°.

          В другие эпохи графики начала и конца полярных дней и ночей, как видно из рис. 8, идентичны, но широта их начала может существенно смещаться. При этом изменяется продолжительность полярных дней и ночей. Например, в эпоху 31 т. л. н. широта начала полярных дней и ночей смещается до56° и 58°, соответственно, а в эпоху 46.44 т. л. н. – до 74° и 76° соответственно.

          Следует отметить, что древние арии [8] в эпоху 31 т. л. н. могли обитать на территории близкой по широте г. Тюмени (φ = 57.15°) и наблюдать полярные дни и ночи. С приближением последнего ледникового периода 15.32 т. л. н. они вынуждены были мигрировать на южные территории.

          Начала полярных дней и ночей и их продолжительность ΔT_dd = T_dd1 - T_dd и ΔT_dn = T_dn1 - T_dn; соответственно, на разных широтах представлены в табл. 1П в полном тексте статьи [0] для пяти разных эпох. Для сравнения, для современной эпохи приведены длительности полярных дней и ночей в астрономии. Они обозначены как EA по названию источника [17]. Данные EA приведены с точностью 1 день. Округление начала и конца полярных дней и ночей может приводить к разности их длительности в 2 дня. В табл. 1П такое отличие наблюдается. А в целом представленные на рис. 8 и табл. 1П результаты для современной эпохи совпадают с известными данными в астрономии.

4.3. Долготы светового дня в моменты солнцестояний

          Рассмотрим долготу светового дня в моменты летнего и зимнего солнцестояний в неполярных широтах. Как уже отмечалось, наибольшая долгота светового дня будет в момент летнего солнцестояния λ_s = π/2, а наименьшая – в момент зимнего солнцестояния λ_w = 1.5·π. Тогда склонение Солнца δ, согласно (4), в этих случаях будет δ_s = ε и δ_w = -ε, соответственно. Тогда после подстановки угла δ_s в (26) часовой угол видимых восходов и заходов края Солнца в момент летнего солнцестояния запишется аналогично (25)-(27) так:

(37)

(38)

(39)

В формуле (30) использован зенитный угол z_0a1, в котором безразмерное расстояние от Земли до Солнца ρ, согласно (22), из-за малого влияния его изменения принято ρ = 1.
          После подстановки угла δ_w = -ε в (26) часовой угол видимых восходов и заходов края Солнца в момент зимнего солнцестояния запишется аналогично (37)-(39) так:

(40)

(41)

(42)

Тогда долгота светового дня в моменты летнего и зимнего солнцестояний запишутся, соответственно, так:

(43)

          Результаты расчетов долготы дня в моменты солнцестояний по формулам (37) – (43) на рис. 9 даны для пяти разных эпох. Графики представляют изменение долготы дня D по широтам φ северного полушария. Для зимнего солнцестояния долгота дня D ≤ 12 часов отмечена как область I, а для летнего солнцестояния – как область II.

          В современную эпоху, как видно из рис. 9, на широте 50° в зимнее солнцестояние день длится 8 часов, а в летнее – 16.37 часа. С уменьшением широты день в зимнее солнцестояние увеличивается и приближается к 12 часам на экваторе. А в летнее солнцестояние день уменьшается и на экваторе также приближается к 12 часам. С увеличением широты φ долгота зимнего дня уменьшается и приближается к нулю. То есть наступает полярная ночь, а долгота летнего дня увеличивается до 24 часов и наступает полярный день.

Рис. 9. Долгота светового дня D в моменты зимнего солнцестояния (I) и летнего солнцестояния (II) на разных широтах φ° Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T – время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; D – долгота светового дня в часах.

          Для остальных эпох изменения долготы дня изменяются подобным образом, но с разными наклонами зависимостей D(φ). Например, для эпохи 31 т. л. н. полярные ночи и дни начинаются на меньших широтах, а в эпоху 46.44 т. л. н. – на больших широтах.

          В полном тексте статьи [0] в табл. 2П приведены долготы дней для летнего солнцестояния (D_s) и зимнего (D_w) для пяти разных эпох. Изменение широты φ дается через 2°, начиная с экватора. Широты изменяются до величин, после которых наступает полярный день (D_s = 24 часа) и полярная ночь (D_w = 0 часов).

5. Азимуты Солнца

5.1. Азимуты движения Солнца в течение суток

          Азимут Солнца A_S отсчитывается на круге горизонта HH′ (рис. 2) от точки севера N_rd до проекции Солнца в т. D за часовой стрелкой

(44)

          В треугольнике N_rdZD, две стороны которого N_rdZ и ZD равны π/2, дуга DN_rd равняется углу Z. В треугольнике NZS известны две стороны: NS = π/2 - δ и ZS = z, а также угол N = ω. По теореме синусов

(45)

где дуга z является зенитным углом Солнца и согласно (7) определяется выражением:

(46)

          Тогда с учетом (45) азимут Солнца (44) A_S = 2π – Z запишется в радианах так:

(47)

          Так как функция arcsin в (47) неоднозначна и после достижения экстремальных значений ± π/2 имеет изломы, то проводятся следующие операции. Вводится функция

(48)

          Находятся максимальные значения mxFn функции Fn03 и минимальные ее значения mnFn. При изменении часового угла ω от -π до π определяются индексы часового угла in9, соответствующего mnFn, и in10, соответствующего mxFn. В зависимости от этих индексов рассчитываются диапазоны индекса k часового угла ω_k и значения функции Fn3 так:

(49)

          Как видно из (48) при ω = 0, в полдень, функция Fn03 может быть равной 0 или π. Согласно рис. 2 в полдень Fn03 = N_rdD = π. Тогда с учетом этого и (48) – (49) азимут Солнца в градусах в соответствии с (47) запишется так:

(50)

          Следует отметить, что минимальное и максимальные значения Fn03 могут принадлежать не центральному участку. В этом случае на азимуте A_S при большом интервале между делениями ω будут всплески при переходе через 0.5·π и 1.5·π. В этом случае нужно использовать следующее условие:

          Этот алгоритм реализован в п. 13 программы SunPhenmn.mcd. На рис. 10 приведены азимуты движения Солнца по небосводу на широте Москвы в современную эпоху. Линией 1 показано изменение азимута в день весеннего равноденствия. Азимут Солнца в полночь ω = -12 часов равен нулю и увеличивается на рассвете (ω ≈ -6 часов) до 90°. В течение дня продолжает увеличиваться: в полдень (ω = 0 часов) до 180° и в полночь (ω = 12 часов) достигает значения 360°. Вертикальными линиями показаны часы восхода и захода Солнца.

Рис. 10. Азимуты A_S на широте Москвы (φ° = 55.7522°) суточного движения Солнца в дни весеннего равноденствия (1), летнего (2) и зимнего (3) солнцестояний в современную эпоху 30.12.1949 г. Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (ω < 0) и заходов Солнца (ω > 0). Кружками 4 отмечены часовые промежутки времени.

          В дни солнцестояний: летнего (линия 2) и зимнего (линия 3) изменение азимутов происходит аналогичным образом, но границы дня существенно изменяются. Кроме того, по сравнению с изменением азимута в дни равноденствия, в эти дни характер изменения азимутов более существенно отличается от линейного закона. Нелинейный характер изменения A_S свидетельствует, что определение промежутков времени по азимуту Солнца или по тени гномона, будет характеризоваться соответствующей неравномерностью хода времени. На рис. 10 часовые промежутки нанесены кружками. Так как в дни равноденствий азимут A_S1 изменяется наиболее близко к линейному закону, то равноденственные часы наиболее равномерны.

          Условия (49) при вычислении азимута Солнца справедливы для нетропических широт. В тропических широтах Северного полушария широта φ меньше угла наклона ε, т.е. φ – ε < 0. Для зенитного угла z в полдень (ω =0) из (7) следует

(51)

Поэтому, как уже отмечалось, в день летнего солнцестояния (δ = ε см. рис. 2) зенитный угол в тропических широтах изменяется от

(52)

до

(53)

в день зимнего солнцестояния (δ = - ε). Из (52) видно, что в день летнего солнцестояния зенитный угол z_ns становится отрицательным, т.е. для наблюдателя M (см. рис. 2) Солнце находится в северной стороне неба. В этом случае в полдень (ω = 0) азимут Солнца A_Sn = 0, а не π, как в нетропических широтах. Следует отметить, что в этом случае суточное движение Солнца для наблюдателя M происходит на южной стороне неба справа налево, а не как на северной стороне слева направо, как это наблюдается в нетропических широтах.

          Ситуации с отрицательным углом z_n, согласно (51), имеют место не только для дня летнего солнцестояния, но и для других дней. Поэтому необходимо определять номера дней, для которых z_n < 0. Тогда для рассмотренного случая тропических широт азимут Солнца запишется так:

(54)

Рис. 11. Азимуты в тропических широтах (φ° = 20°) суточного движения Солнца в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний в современную эпоху 30.12.1949 г. Шкала азимута дня летнего солнцестояния 2 сдвинута на 180° (см. справа графика). Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (ω < 0) и заходов Солнца (ω > 0).

          Полностью алгоритм расчета азимута Солнца приведен в п. 13 программы SunPhenmn.mcd в Приложении. На рис. 11 представлено изменение азимута Солнца в течение суток на широте φ = 20°. В день весеннего равноденствия 1 и зимнего солнцестояния 3 азимут Солнца изменяется от 180° в полночь (ω = -12 часов) до некоторого минимального значения. Для зимнего солнцестояния 3 оно приходится на ночь, а для весеннего равноденствия – на рассвет. В полдень азимут Солнца снова равняется 180°, т.е. Солнце находится в южной стороне неба. При движении Солнца от полдня к полночи оно проходит максимальные значения азимута и в полночь снова приходит на юг (A_S = 180°).

          В день летнего солнцестояния (линия 2, правая шкала графика) Солнце в полночь находится на Севере (A_S = 0°), затем движется по северной стороне неба (A_S < 90°). Перед полднем (ω ≈ 1 час) достигает максимального отклонения к востоку и в полдень возвращается на север (A_S = 0°). После полдня Солнце переходит в западную сторону неба и достигает максимального отклонения к западу (A_S ≈ 70°). К полночи Солнце снова возвращается на север (A_S = 0°). Следует отметить, что здесь мы использовали для определения азимута шкалу не от 0 до 360°, а от -180° до 180°. Это позволяет избежать разрыва графика на интервале часового угла ω от -12 часов до +12 часов.

          В нетропических широтах суточное движение Солнца происходит по полному кругу вокруг наблюдателя M, т.е. A_S = 0÷2π. В тропических широтах суточный круг движения Солнца происходит в стороне от наблюдателя: летом (линия 2) в северной стороне неба, зимой, включая дни равноденствия, (линии 1 и 3) – в южной стороне неба.

5.2. Проекция дневного пути Солнца на плоскости горизонта

          Рассмотрим проекцию на плоскость горизонта дневное движение Солнца. Положение Солнца S (рис. 2) над плоскостью горизонта HH' определяется зенитным углом z и углом азимута A_S, который определяется дугой N_rdS_rS_thD . На плоскости горизонта введем две оси координат с началом в точке M: N_S – направленная на Север N_rd и E_S – направленная на Восток E_st . Тогда проекции центра Солнца на эти оси запишутся так:

(55)

где A_S – азимут Солнца в радианах.

          Выражением (55) также определяются координаты N_S , E_S точек восхода и захода верхнего края Солнца, если углами z и A_S будут определены их моменты времени. На рис. 12 проекции дневного пути Солнца показаны для трех случаев: в день весеннего равноденствия и в дни солнцестояний на широте Москвы.

          В день весеннего равноденствия центр Солнца всходит на Востоке и заходит на Западе. А восход и заход верхнего края Солнца немного сдвигается на Север. Летом восход и заход Солнца находится в северной части горизонта. С увеличением широты φ траектория 2 Солнца будет приближаться к окружности. На широте, где траектория станет окружностью, наступит полярный день.

          В день зимнего солнцестояния траектория 3 Солнца укорачивается и находится в южной стороне неба. С увеличением широты длина ее уменьшается, и там, где траектория исчезает, наступает полярный день.

Рис. 12. Проекция дневного пути Солнца на плоскости горизонта на широте Москвы (φ = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г.: 1 – в дни весеннего равноденствия; 2 – летнего и 3 – зимнего солнцестояний. Ось N_S направлена на Север (N_rd), а ось E_S – на восток (E_st). Положение наблюдателя (M) в начале координат отмечено крестиком. Точками на линиях отмечены восходы верхнего края Солнца (с правой стороны) и его заходы (с левой стороны).

          Следует отметить, что конечные точки на траектории Солнца в дни равноденствий 1 и в дни солнцестояний 2 и 3 играют ключевую роль в древных астрономических календарях [9]-[10]. Представленный в п. 15 программы SunPhnmen.mcd алгоритм позволяет рассчитать их для любой эпохи.

5.3. Азимуты восходов и заходов Солнца

          В отличие от азимутов суточного движения Солнца азимуты точек восхода и захода необходимо отсчитывать до точек появления и исчезновения верхнего края Солнца. Как видно из рис. 2 и рис. 6, азимут наблюдаемой точки G захода края Солнца состоит из дуг на круге горизонта HH′

(56)

где E_st и W_st – точки Востока и Запада на круге горизонта.

           Дуга N_rdE_stS_thW_st равна 1.5·π (см. рис. 2). Через точку S_s и полюс N проведена дуга большого круга S_sF, поэтому она перпендикулярна дуге экватора AA', т.е. угол F = 0.5·π. Дуга S_sF равна δ. В треугольнике S_sFW_st угол W_st = π/2 - φ. Поэтому дуга W_stS_s определяется по теореме синусов

(57)

          Сторона GS_s может быть найдена из треугольника GS_s1S_s (см. рис. 6), в котором угол S_s = W_st = π/2 - φ. В виду малости треугольника, его можно рассматривать как плоский и линейный со сторонами R_EGS_s1 и R_EGS_s , где R_E – радиус Земли. Для угла S_s можно записать: tg(π/2 - φ) = R_EGS_s1/(R_EGS_s ). Отсюда получаем:

(58)

          Подставляя в (56) составляющие получим азимут точки захода Солнца в градусах в виде:

(59)

          Ввиду того, что sinδ/cosφ по модулю может превышать 1, введем обозначение:

(60)

и определим функцию:

(61)

          Тогда азимут точки захода Солнца будет:

(62)

          Чтобы рассчитать азимут точки восхода, обозначим точку S_r1 видимого восхода края Солнца на дуге M_nS_r (на рис. 2 эта точка не приведена). Она находится под горизонтом HH′ и дуга S_r1S_r равна по величине дуге S_s1S_s (см. рис. 6), т.е. S_r1S_r = S_s1S_s. Поэтому точка наблюдаемого восхода края Солнца G_s будет ближе к точке севера N_rd на величину дуги S_rG₁ = S_sG. Тогда азимут наблюдаемой точки G_s восхода будет определяться следующими дугами:

(63)

где точка E_st находится в пересечении кругов горизонта HH′ и экватора AA', а ее азимут N_rd E_st = π/2. Дуга E_st S_r = W_st S_s . Подставляя в (63) все составляющие азимут точки восхода края Солнца с учетом (60)-(61) получаем в виде:

(64)

          Как видим из (62) и (64) сумма азимутов восходов и заходов

(65)

          Сумма A_Gs + A_Gr может отличаться от 360°, если горизонт в восточной части отличается от горизонта в западной части высотой окружающей местности. Приведенные формулы для азимутов не учитывают этой особенности и дают симметричные азимуты восходов и заходов относительно направления MN_rd на север (рис. 2).

          На рис. 13 показано изменение азимута точки восхода края Солнца A_Gr в течение года на разных широтах. Например, на широте φ = 60° в момент весеннего равноденствия (T_d = 1) азимут A_Gr = 87.76°, затем он уменьшается до 35.84° в день летнего солнцестояния. В момент осеннего равноденствия A_Gr = 88.23°, а затем увеличивается до A_Gr = 141.27° в день зимнего солнцестояния.

Рис. 13. Азимуты восходов верхнего края Солнца в современную эпоху 30.12.1949 г. в течение года на разных широтах φ° Северного полушария: A_Gr – азимуты восходов Солнца в градусах.

          С уменьшением широты φ экстремумы азимута Солнца A_Gr уменьшаются и на экваторе (φ = 0°) приближаются к 66.56° в день летнего солнцестояния и к 113.44° в день зимнего солнцестояния. С увеличением широты φ > 60° наименьший азимут точки восхода края Солнца A_Gr в день летнего солнцестояния приближается к 0°, т.е. Солнце восходит на Севере. На полярном круге (φ = 90° - ε°) наступает полярный день. С увеличением широты в день зимнего солнцестояния (T_d = 276) азимута Солнца A_Gr увеличивается до 180° на полярном круге (φ = 90° - ε°), т.е. Солнце всходит на Юге. С дальнейшим увеличением широты наступает полярная ночь.

          Следует отметить, что графики на рис. 13 напоминают графики долготы светового дня на рис. 7, если их перевернуть вокруг горизонтальной линии A_Gr = 90°. Азимуты точки захода края Солнца A_Gs, как следует из (65), A_Gs = 360° - A_Gr, поэтому их графики будут похожи на графики долготы светового дня на рис. 7.

5.4. Экстремальные азимуты восходов и заходов Солнца в дни солнцестояний

          Наибольшие азимуты заходов и наименьшие азимуты восходов верхнего края Солнца имеют место в день летнего солнцестояния λ_s = π/2. В день зимнего солнцестояния λ_s = 1.5·π экстремумы азимутов становятся обратными: азимуты заходов – наименьшие, а азимуты восходов – наибольшие. Приведем предельные азимуты восходов (64) в день летнего солнцестояния:

(66)

и в день зимнего солнцестояния:

(67)

          Азимуты заходов Солнца (62) в дни солнцестояний запишутся аналогичным образом. При вычислениях по формулам (66)-(67) в алгоритм необходимо ввести условия, чтобы избежать |sinε/cosφ| > 1 (см. п. 14 программы в Приложении).

          Результаты расчетов азимуты восходов Солнца в дни солнцестояний по формулам (66) - (67) для пяти разных эпох даны на рис. 14. Графики представляют изменение азимута A_Gr по широтам φ Северного полушария. Для летнего солнцестояния азимуты A_Gr ≤ 90° отмечены как область I, а для зимнего солнцестояния – как область II.

Рис. 14. Азимуты восходов верхнего края Солнца в моменты летнего солнцестояния (I) и зимнего солнцестояния (II) на разных широтах φ° Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T – время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; A_Gr – азимуты восходов Солнца в градусах.

          В современную эпоху, как видно из рис. 14, на широте 50° в летнее солнцестояние азимут восхода Солнца A_Gr равен 50.77°, а в зимнее – 127.24°. С уменьшением широты азимут восхода увеличивается и приближается к 66.56° на экваторе. А в зимнее солнцестояние азимут восхода уменьшается и на экваторе приближается к 113.44°. С увеличением широты φ азимут восхода A_Gr дня летнего солнцестояния уменьшается и приближается к нулю. То есть Солнце всходит на Севере и наступает полярный день. А азимут восхода A_Gr дня зимнего солнцестояния с увеличением широты φ увеличивается до 180°и наступает полярная ночь.

          Для остальных эпох изменения азимута восхода Солнца A_Gr происходит подобным образом, но с разными наклонами зависимостей A_Gr(φ). Например, для эпохи 31 т. л. н. полярные ночи и дни начинаются на меньших широтах, а в эпоху 46.44 т. л. н. – на больших широтах.

          Следует отметить, что графики на рис. 14 напоминают графики долготы светового дня D в разные эпохи на рис. 9, однако области I и II у них разные. Азимуты точки захода края Солнца, например, в день летнего солнцестояния A_Gss, как следует из (65), A_Gss = 360° - A_Grsm. Поэтому графики A_Gssm и A_Gswn будут похожи на графики долготы светового дня на рис. 9.

          В полном тексте статьи [0] в табл. 3П приведены азимуты восходов Солнца для летнего солнцестояния (A_Grsm) и зимнего (A_Grwn) для пяти разных эпох. Изменение широты φ дается через 2°, начиная с экватора. Широты изменяются до величин, после которых наступает полярный день (A_Grsm = 0°) и полярная ночь (A_Grwn = 180°).

6. Солнечная тень гномона

6.1. Относительная длина тени гномона

          Гнoмоном (др.-греч. γνωμων – указатель) называется предмет, тень от которого используется в солнечных и лунных часах и календарях. На рис. 15 показана длина тени l_sh вертикального гномона длиной l_g, которая возникает от верхнего края Солнца. Величина l_sh зависит от зенитного угла z Солнца и его углового радиуса S. Ранее формулой (21) величина S приводилась в виде дуги KS_s1 на рис. 6. Как следует из рис. 15, относительная длина тени гномона будет:

(68)

где зенитный угол z Солнца определяется выражением (46).

Рис. 15. Длина тени l_sh гномона длиной l_g при освещении его солнцем S.

          Чтобы избежать отрицательных значений относительной длины теней l_sh1 расчет проводится по следующему алгоритму:

(69)

(70)

(71)

6.2. Изменение длины тени в течение дня

          По алгоритму (69)-(71) рассчитано изменение относительной длины тени l_sh1 гномона в течение суток для трех разных дней на широте г. Москвы и для одного дня на широте г. Тюмени (рис. 16). В левой части графика вертикальными линиями показаны часовые углы восходов Солнца, а в правой – часовые углы его заходов. Так как в эти моменты длина тени стремится к бесконечности, и ординату l_sh1 графика приходится ограничивать, то асимптотическое приближение линий l_sh1 к вертикальным линиям восходов и заходов находится вне рисунка.

Рис. 16. Изменение длины солнечной тени гномона единичной длины в течение суток в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний на широте Москвы (φ° = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г. 4 – длина солнечной тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (φ° = 57.301575°) по расчету и 5 – по наблюдениям. Вертикальными линиями отмечены часовые углы восходов (ω < 0) и заходов Солнца (ω > 0).

          Как видно из рис. 16, в день весеннего равноденствия (линия 1) длина тени l_sh1 после восхода Солнца (ω < 0) уменьшается и в полдень (ω = 0) достигает минимального значения l_sh1 = 1.433. Затем она увеличивается до бесконечности в момент захода Солнца (ω > 0). В день летнего солнцестояния (линия 2) минимальная длина тени уменьшается до l_sh1 = 0.626, а в день зимнего солнцестояния минимальная длина тени увеличивается до l_sh1 = 5.108. Таким образом, на широте г. Москвы длина полуденной тени изменяется в пределах 5.108 ≥ l_sh1 ≥ 0.626.

          Рассмотрим траекторию движения тени конца гномона в координатах N_sh, E_sh, где ось N_sh направлена на Север, а ось E_sh – на Восток. Азимут тени A_sh отсчитывается от оси N_sh и выражается через азимут Солнца так: A_sh = A_S + 180°. Тогда проекции тени на плоскость горизонта запишутся:

(72)

Рис. 17. Суточная траектория тени конца гномона единичной длины на плоскости горизонта N_sh(E_sh) в дни весеннего равноденствия 1, летнего 2 и зимнего 3 солнцестояний на широте Москвы (φ° = 55.7522°) в современную эпоху 30.12.1949 г. 4 – траектория тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (φ° = 57.301575°) по расчету и 5 – по наблюдениям. Ось N_sh направлена на Север, а ось E_sh – на восток. Положение гномона в начале координат отмечено крестиком.

          На рис. 17 показана траектория дневной тени конца гномона относительной длины для трех дней на широте г. Москвы и одного дня на широте г. Тюмени. В начале координат крестиком отмечено положение гномона. На широте г. Москвы в день весеннего равноденствия (линия 1) конец тени гномона движется с Запада (E_sh < 0) на Восток почти по прямой линии. При этом тень находится севернее гномона. В день летнего солнцестояния тень гномона (линия 2) начинает утром движение с Юго-запада и заканчивает движение вечером на Юго-востоке. Только вблизи полудня, ±2 часа, тень находится севернее гномона. Линией 3 показано, что в день зимнего солнцестояния тень полностью движется на Севере от гномона.

6.3. Измерение длины тени гномона

          С целью проверки полученных результатов на местности, недалеко от г. Тюмени, были выполнены наблюдения за перемещением тени гномона. На рис. 18 показан нехитрый инструментарий из подсобных материалов: лист ватмана, компас, карандаш, металлический прут, рулетка и отвес, с помощью которого выполнены наблюдения. Наблюдения проводились 15.08.2015 г., что составляет T_d = 148 день после дня весеннего равноденствия 21 марта. Вдоль тени карандашом проводились линии на ватмане и отмечались конец тени и время ее наблюдения. Затем были замерены азимуты A_shM теней от направления от направления на Север N_M, определенный по компасу.

Рис. 18. Наблюдение тени гномона 15 августа 2015 г. вблизи Тюмени (φ° = 57.301575°) и основные инструменты: лист ватмана, компас, карандаш, металлический прут диаметром 6 мм – гномон, рулетка и отвес.

          На рис. 19 показаны результаты наблюдений в виде зависимости относительной длины тени l_sh1 от времени в г. Тюмени t_m. Как видно, минимум l_sh1 приходится на время t_m отличное от 12 часов. На рис. 16 данные наблюдения точками 5 нанесены на рассчитанную согласно (69)-(71) зависимость 4 l_sh1(ω). Положение полдня (ω = 0) приходится на 12 ч. 44 мин тюменского времени.

          Для рассматриваемой широты места наблюдения и дня T_d = 148 по формуле (50) был рассчитан азимуты A_S Солнца. Аналогично рис. 10 он был представлены в виде графика A_S(ω). В этих же координатах нанесены определенные азимуты Солнца A_SM по замеренным азимутам тени A_SM = A_shM - 180°. Азимуты A_SM оказались эквидистантно сдвинуты на ΔA = 14.47059° вниз по отношению к азимутам A_S, т.е. A_SM < A_S. Это обусловлено тем, что Северный магнитный полюс сдвинут к Востоку на величину ΔA по отношению к географическому Северному полюсу.

Рис. 19. Результаты наблюдения относительной длины тени l_sh1 гномона в зависимости от времени t_m в г. Тюмени 15 августа 2015 г. на широте φ° = 57.301575°.

          Скорректированные данные измерения азимута тени и времени ее наблюдения использованы для расчета по формулам (72) ее траектории. На рис. 17 она нанесена точками 5. Как видим, измеренная траектория тени гномона 5 совпала с рассчитанной 4. Некоторый разброс точек 5 вокруг линии 4 объясняется погрешностью измерений.

          Итак, выполненные наблюдения и измерения тени гномона подтвердили представленный алгоритм её расчета. Кроме того, измерения позволили определить истинный полдень в 12 ч. 44 мин тюменского времени и восточное отклонение ΔA магнитной стрелки. Следует отметить, что азимут солнечного полдня и его время наступления можно непосредственно определить по данным наблюдения, представленным на рис. 19. Но для этого наблюдения необходимо производить более часто и за больший промежуток времени.

6.4. Полуденная длина тени гномона в течение года

          Как видно из рис. 16, наименьшая тень наступает в полдень (ω = 0). В этом случае зенитный угол z_n центра Солнца определяется выражением (51), тогда в соответствии с (68) единичная длина полуденной тени запишется так

(73)

          Алгоритм расчета относительной длины тени в п. 17.3 программы SunPhnmen.mcd приведен с учетом особенностей функции tg. Результаты расчетов изменения длины полуденной тени в течение года на разных широтах Северного полушария показаны на рис. 20. В этих расчетах ввиду несущественного влияния относительного расстояния ρ принято ρ = 1. Как видно из рис. 20, на широте φ = 60° в день весеннего равноденствия (T_d = 0) длина относительной полуденной тени l_s1n = 1.687. Затем она уменьшается и в день летнего солнцестояния достигает минимального значения 0.734. Далее увеличивается и принимает максимальное значение 8.351 в день зимнего солнцестояния. С увеличением широты φ минимальные и максимальные значения возрастают, а с уменьшением φ – уменьшаются. В тропических широтах (φ < ε) зависимость l_s1n(φ) имеет два максимума и два минимума. В минимумах длина тени равна нулю: в эти моменты Солнце находится в зените. А максимумы l_s1n наступают в дни солнцестояний.

Рис. 20. Длина полуденной солнечной тени гномона единичной длины l_s1n в зависимости от дней года T_d в современную эпоху 30.12.1949 г. на разных широтах φ° Северного полушария: a – в обычном масштабе; b – при увеличении ординаты l_s1n в 2 раза.

6.5. Экстремальные длины солнечной тени гномона в дни солнцестояний

          Как показано выше, экстремальные длины теней происходят в дни солнцестояний, которые характеризуются углом δ = ± ε. Тогда из (73) с учетом ρ = 1 получаем относительные длины теней

(74)

для дней летнего и зимнего солнцестояний, соответственно. С учетом особенностей функции tg алгоритм расчета приведен в п. 17.3 программы SunPhnmen.mcd.

          Результаты расчетов экстремальных длин тени для пяти разных эпох в зависимости от широты φ даны на рис. 21. Шкала для длин теней в летнее солнцестояние l_s1s приведена справа, а для зимнего солнцестояния l_s1w – слева. В современную эпоху, как видно из рис. 21 при T = 0, в полдень летнего солнцестояния на экваторе (φ = 0) длина тени l_s1s = 0.428. Затем она уменьшается на тропике φ ≈ ε до 0, а с дальнейшим увеличением широты длина тени возрастает до l_s1s = 2.277 на широте φ = 90°.

          В другие эпохи графики полуденной тени в летнее солнцестояние почти эквидистантно сдвигаются по широте φ, в зависимости от угла наклона ε. На широтах φ = ε длина тени равна нулю: l_s1s = 0.

          В современную эпоху (T = 0) в полдень зимнего солнцестояния на экваторе (φ = 0) длина тени l_s1w = 0.428, т.е. такая же, как и в полдень летнего солнцестояния. Затем она с увеличением широты φ растет до бесконечности до широты φ = 90° - ε° полярного круга, где начинается полярная ночь. В другие эпохи полуденная тень на экваторе изменяется от 0.259 (T = 46.44 т.л.н.) до 0.618 (T = 31 т.л.н.). С увеличением широты длины теней в день зимнего солнцестояния увеличиваются во все эпохи и тем в большей степени, чем меньше широта полярного круга (90° – ε°).

Рис. 21. Тени гномона единичной длины в полдни летнего солнцестояния (l_s1s) и зимнего солнцестояния (l_s1w) на разных широтах φ° Северного полушария в экстремальные эпохи T за последние 50 т.л.н.: T – время в тыс. лет от 30.12.1949 г.; масштабы длин l_s1w и l_s1s – разные и отличаются в 4 раза.

          В полном тексте статьи [0] в табл. 4П приведены длины полуденных теней в дни летнего (l_s1s) и зимнего (l_s1w) солнцестояний для пяти разных эпох. Изменение широты φ дается через 2°, начиная с экватора до широты 80°. Бесконечная длина тени выражена числом 1.6e+16.

7. Основные феномены Солнца

          Подведем итоги по основным феноменам Солнца. Освещение Солнцем поверхности в точке нахождения наблюдателя M (см. рис. 2), т.е. ее инсоляция, зависит от эксцентриситета e орбиты Земли, угла наклона ε плоскости экватора Земли к плоскости ее орбиты, угла φ_pγ между перигелием орбиты Земли и восходящим углом γ и широты места φ [11]. Эти четыре параметра создают разнообразие инсоляции поверхности Земли, из которого наблюдатель может определить следующие основные 6 явлений, или феноменов (см. табл. 3). Первым феноменом является количество дней до начала сезона T_d, отсчитываемое от момента весеннего равноденствия. Для весны T_dsp = 0, для лета наблюдатель определяет количество дней до летнего солнцестояния T_dsm, для осени – до момента осеннего равноденствия T_dau и для зимы – до момента зимнего солнцестояния T_dwn. С этим феноменом также связана продолжительность сезонов ΔT_d, которая, согласно (6) рассчитывается по разности величин T_d. В рассмотренном выше алгоритме начала сезонов определяются долготами λ = 0; π/2; π; 3π/2. По зависимости λ(T_d), определяется время T_d в днях до начала каждого сезона. Этот феномен не зависит от широты φ наблюдателя, а определяется только параметрами e, δ и φ_pγ.

Таблица 3. Основные феномены Солнца

          Второй феномен, характерный для высоких широт, – это длительность в днях полярных дней (ΔT_dd) и полярных ночей (ΔT_dn). Наблюдатель на широте φ своего места может определить длительность полярных ночи и дня. А в теории полярные ночи и дни определяются долготами λ_pd и λ_pn (см. формулы (35)- (36)), по которым длительность этих феноменов рассчитывается по зависимости λ(T_d). Этот феномен сильно зависит от широты φ наблюдателя. Поэтому он в наибольшей степени находит для уточнения широты палеонаблюдателя, если он находился в высоких широтах.

          Третьим феноменом является зенитный угол z_n Солнца в полдни равноденствий и солнцестояний. Как уже отмечалось для весны, лета, осени и зимы Северного полушария равны, соответственно:

(75)

          Следует отметить, что в наблюдениях может использоваться высота l Солнца над горизонтом. Она определяется через зенитный угол так:

(76)

          Четвертый феномен – это долгота светового дня во время летнего солнцестояния D_s и зимнего солнцестояния D_w. Для наблюдателя существует сложность в измерении этого феномена. Эти измерения требуют высокой технологии определения времени и хранения сведений о нем. Тем не менее, возможны приемы выполнения этой работы. В теории этот феномен определяется выражением (43).

          Пятый феномен – азимуты восходов и заходов Солнца в дни солнцестояний и равноденствий. Они могут быть зафиксированы наблюдателем в зависимости от какого-то направления. В теории азимут восхода Солнца в день летнего солнцестояния определяется выражениями (66), а зимнего – (67). В дни равноденствий при δ = 0, согласно (60) и (64) азимут восхода Солнца будет:

(77)

          Шестой феномен – длина теней гномона в полдни. Для дней солнцестояний: летнего (l_s1s) и зимнего (l_s1w) определяется согласно (74), а в дни равноденствий при δ = 0, согласно (73), длина тени будет:

(78)

          Наблюдатель может зафиксировать эти феномены по отношению к гномону, длина которого неизвестна. В этом случае могут потребоваться дополнительные данные для определения относительной длины тени. В теории относительные длины теней определяются выражениями (74) и (78).

8. Восстановление параметров наблюдателя и движения Земли по древним феноменам Солнца

          Параметрами наблюдателя являются его древние широта местонахождения и направление на Север. Исследователи древних календарей отмечают изменение этих параметров наблюдателя. Например, М.И. Исрапилов пришел к выводу о смещении Северного полюса в Якутию несколько тысяч лет назад [7]. Рассмотрим, как определить параметры наблюдателя по феноменам Солнца.

          В дни равноденствий зенитный угол z, согласно (75), в полдень будет равняться широте места z_nsp = φ. А длина тени l_s1sp согласно (77) также зависит от широты φ. Тогда широта места наблюдателя определяется по одному из этих феноменов:

(79)

          В дни равноденствий суточное движение Солнца происходит по кругу экватора AA’ (рис. 2). Поэтому центр Солнца восходит на Востоке, а заходит на Западе. Палеонаблюдатель отмечает восходы и заходы Солнца по его верхнеиу краю. По формуле (77) при известной широте φ может быть найден азимут A_Grsp восхода верхнего края Солнца. Обозначим наблюдаемое значение азимута палео-Востока как A_Eapa = 90°, тогда из (77) можем записать:

(80)

          Тогда азимут палео-Севера запишется так:

(81)

где A_G1spa – наблюдаемый азимут древнего восхода Солнца во время весеннего равноденствия.

          Азимут палео-Севера также можно определить через азимут восхода Солнца в момент осеннего равноденствия, а также через азимуты заходов в дни равноденствий. Четырехкратные способы определения предоставляют возможности для проверки результатов определения A_Npa.

          Теперь на основе феноменов Солнца определим параметры движения Земли. В полдень солнцестояний (λ = π/2, 1.5π) зенитные углы z Солнца, согласно (75), и длины теней в полдень, согласно (74), зависят от φ – ε и φ + ε. Поэтому при известной широте φ угол наклон ε плоскости экватора к плоскости орбиты Земли может быть определен по одной из четырех зависимостей:

(82)

          Как видим зависимости (82) позволяют разными четырьмя способами определить угол наклона ε при известной широте φ. Если широта φ неизвестна, то соотношения (82) позволяют определить и широту φ и угол ε, при этом двумя способами.

          Предельные азимуты восходов в дни солнцестояний определяются выражениями (66) и (67), которые зависят от ε и φ. Вычтем из (67) выражение (66) и выразим угол наклона ε:

(83)

где ΔA_sr = A_Grwn – A_Grsm – разница азимутов восходов в дни солнцестояний.

          Аналогичное выражение для угла наклона запишется через разницу ΔA_ss азимутов заходов в дни солнцестояний. Поэтому, если величины ΔA_ss и ΔA_sr имеются, то этим предоставляется возможность проверки определения ε. Выражение (83) знаменательно тем, что в него входит разность азимутов восходов. Это исключает возможное, отличное от современного, толкование восхода и определение его момента. В этом случае на определение ε также меньше влияют географические особенности места наблюдения.

          Долготы светового дня в моменты солнцестояний определяются выражениями (43). С учетом (37) – (40) найдем разность светового дня ΔD = D_s - D_w

(84)

          Упростим выражение (84), рассматривая его для центра Солнца, т.е. согласно (23) z_0a1 = π/2. Тогда оно приобретет вид:

(85)

          После упрощения (85) выразим угол наклона ε:

(86)

где

(87)

- разность светового дня в моменты солнцестояний, по отношению к длительности суток.

          Выражение (86) позволяет определить угол наклона ε при известной широте места φ. Оно не требует знания способа деления суток на части, так как в (86) входит доля от суток, на которую солнечный день в летнее солнцестояние больше дня в зимнее солнцестояние. После нахождения ε из (86), по выражению (84) можно уточнить ΔD, а затем по (86) определить уточненное значение угла наклона ε.

          Определенные по представленным формулам широта φ и угол наклона ε в дни равноденствий и солнцестояний содержат ошибки, связанные с определением палеонаблюдателем азимута, длины тени, продолжительности разности дня ΔD. Кроме того в формулах содержится ошибка, связанная с тем, что принятые моменты равноденствий и солнцестояний на заходе и восходе Солнца или в полдень могут не совпадать с моментом прохождения Солнца через соответствующие точки γ, γ', E и E' на эклиптике EE' (рис. 2). Разность моментов может достигать 0.5 дня. Он дает погрешность пропорциональной отношению 0.5 дня к периоду прецессии оси Земли, равному 25780 тыс. лет. То есть эта погрешность несущественна. Погрешность наблюдений палеонаблюдателя также может быть оценена. Для этого необходимо современному наблюдателю повторить наблюдения в месте нахождения палеонаблюдателя. Обработка их результатов позволит определить погрешность палеонаблюдателя.

          При известных палеопараметрах φ и ε остальные параметры: эксцентриситет e орбиты Земли и долгота φ_pγ перигелия могут быть определены по количеству дней T_dsm, T_dau, T_dwn до начала сезона и по длительности полярных дней ΔT_dd или ночей ΔT_dn. Эти параметры зависят от долготы λ, которая рассчитывается численно в прилагаемой программе SunPhnmen.mcd. Методом последовательных приближений с ее помощью параметры e и φ_pγ могут быть найдены. Они могут быть определены разными способами, так как нахождения двух неизвестных e и φ_pγ существует 5 уравнений для величин T_dsm, T_dau, T_dwn, ΔT_dd и ΔT_dn.

          Изменение параметров ε, e и φ_pγ во времени известно в результате решения задач об орбитальном движении Земли и о ее вращательном движении. В файле OrAl-5kyr.prn величины ε, e и φ_pγ даны с интервалом 1 год за 5 т.л.н., а в файле OrAl-200ky.prn – с интервалом 40 лет за 200 т.л.н. Поэтому, по трем параметрам ε, e и φ_pγ должен однозначно определиться возраст эпохи палеонаблюдателя. Если из археологических исследований примерный возраст эпохи наблюдения известен, то по одной из зависимостей ε, e или φ_pγ от времени этот возраст может быть уточнен.

          Рассмотрим схематически алгоритмы определения параметров e и φ_pγ в двух случаях: 1) при известном примерном возрасте эпохи наблюдения и 2) при неизвестном. Пусть и в первом и во втором случае определены два каких-либо параметра палеоклимата, например, T_dsm,p и ΔT_dd,p. Индекс p, здесь и далее добавленный к обозначению параметра, обозначает, что этот параметр определен по древнему (палео-) календарю.

          В первом случае пусть T₁ и T₂ – время начальной и конечной эпох, в пределах которого находится предполагаемый возраст древнего календаря. С помощью программы SunPhnmen.mcd на интервале от T₁ до T₂ рассчитываются T_dsm и ΔT_dd и строятся графики T_dsm(φ_pγ) и ΔT_dd(e). По этим графикам по величинам T_dsm,p и ΔT_dd,p определяются угол перигелия φ_pγ,p и эксцентриситет e_p, которые были в эпоху древнего календаря. Время эпохи T_p определяется из файла данных OrAl-5kyr.prn или OrAl-200ky.prn.

          Во втором случае, когда возраст календаря неизвестен, при заданных параметрах φ и ε с помощью программы SunPhnmen.mcd производится первая серия расчетов при неизменном угле перигелия φ_pγ варьируется эксцентриситет e. Во второй серии при неизменном эксцентриситете e варьируется угол перигелия φ_pγ. Затем строится первая серия графиков T_dsm(φ_pγ) при разных e и вторая серия графиков ΔT_dd(e) при разных φ_pγ. Затем на графиках T_dsm(φ_pγ) проводится горизонтальная линия T_dsm,p = const, а на графиках ΔT_dd(e) – ΔT_dd,p = const. По пересечению этих линий с линиями графиков T_dsm(φ_pγ) и ΔT_dd(e) определяются параметры угол φ_pγ,p и эксцентриситет e_p, которые были в эпоху древнего календаря. Время эпохи T_p определяется из файла данных OrAl-5kyr.prn или OrAl-200ky.prn по трем параметрам: ε, φ_pγ,p и e_p.

9. Использование результатов в аэрокосмических исследованиях рельефа

          Рассмотренный алгоритм и программа SunPhnmen.mcd по расчету феноменов Солнца может быть использована для определения высоты возвышенностей и глубины выемок при аэрокосмическом исследовании поверхности Земли или других планет. В качестве примера рассмотрим определение профиля бугра по его тени.

          Осенью 2013 г. оленеводами на Ямале, в 30 км Бованенковского месторождения (70°21'44'' с.ш. и 68°26'46'' в.д.) [22] обнаружен провал в земле, который еще называют воронкой. Он имел диаметр 25 м и глубину больше 50 м [23]. Вверху провал завершается коническим раструбом диаметром около 60 м. По космическому снимку от 09.06.2013 г. (см. рис. 22a) было установлено [23], что на месте провала находился бугор 1. Цифрой 2 показана тень от бугра.

Рис. 22. Бугор (a) от 9 июня 2013 г. вблизи Бованенково на Ямале (φ° = 70°) [23] перед появлением осенью 2013 г. воронки и профиль бугра (b), рассчитанный по его тени: точки – по результатам измерения тени, линия – апроксимационная зависимость (90).

          Солнце находится в направлении противоположном тени, и, как следует из рис. 22a, азимута Солнца равен A_Shl = 326.5°. Широта бугра φ = 70.3622°, а дата его наблюдения соответствует T_d = 81 день от дня равноденствия 21 марта. По зависимости азимута Солнца A_S от часового угла ω (50) время T_d и широта бугра φ позволяют рассчитать часовой угол Солнца ω, который обозначим как ω_hS. Эти расчеты выполнены в в п. 18 программы SunPhnmen.mcd.

          Ряд азимутов Солнца A_S,k по формуле (50) рассчитан для ряда часовых углов ω_h,k. По значению азимута A_Shl из ряда азимутов A_S,k выбирается индекс in12, при котором азимут A_S,in12 находится вблизи значения A_Shl, но меньше его. Тогда часовой угол Солнца находится интерполяцией по следующей формуле

(88)

          По часовому углу Солнца ω_hS с помощью формулы (71) рассчитывается единичная длина гномона l_sh1hl в месте нахождения бугра. Так как формула (71) и входящие в нее выражения являются сложными нелинейными зависимостями, то вычисления в п. 18 программы SunPhnmen.mcd производятся аналогично определению часового угла по формуле (88).

          Наблюдаемую длину тени бугра l_Osh можно определить по космоснимку с учетом приведенного на нем масштаба длины, равному 70 м (см. рис. 22). Тогда высота бугра определяется так:

(89)

          Такие расчеты выполнены для ряда точек тени и получен профиль бугра. На рис. 22b точками 1 представлен профиль бугра, определенный по замерам длины тени. Линией 2 приведена аппроксимация профиля бугра зависимостью

(90)

где H_mx = 8.76 м – высота бугра в центральной точке; R_h = 21.2 м – радиус бугра.

          В работе [23] по стереопаре снимков оценили диаметр бугра в основании: 45-48 м и его высоту: 5-6 м. Как видим, полученные по тени размеры бугра согласуются с этими оценками: диаметр бугра по тени меньше на 9.7%, а высота – больше на 37%. В работе [23] сообщается, что в месте нахождения воронки наблюдается уклон местности. Возможно, наличие уклона увеличивает высоту холма.

          Рассчитаем тень от гномона, когда она падает не на горизонтальную поверхность, а имеющую уклон β к горизонтальной поверхности HH' (см. рис. 15). Обозначим длину тени гномона на наклонной поверхности l_shβ = OB. В треугольнике AOB угол B = 90° - (z - S) - β. Тогда по теореме синусов l_g / sinB = OB / sin(z - S) находим длину тени гномона на наклонной поверхности OB

(91)

          После преобразования (91) длину тени гномона единичной длины на поверхности с углом уклона β получаем в виде:

(92)

где l_sh1 – длина тени гномона единичной длины на горизонтальной поверхности; β – угол наклона поверхности в направлении тени.

          При наличии уклона в месте нахождения бугра длина тени согласно (92) увеличится. Это приведет, в соответствии с (89), к уменьшению высоты H бугра.

          Представляет интерес полученный профиль (90) бугра. Если бугор образован движением льдистого материала, то его профиль даже при движении с неизменным ускорением будет такой же, как и профиль скорости. При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе профилем скорости является парабола:

(93)

          Тогда профиль бугра будет иметь вид:

(94)

Рис. 23. Сравнение профиля тени с апроксимационными зависимостями: 1 – для сходящегося течения (90); 2 – для ламинарного течения (94); точки – по результатам измерения тени; l_sh и r – длина тени бугра и его радиус в м.

          Профиль скорости, аналогичный профилю бугра (90), получен для вертикальной скорости в сходящемся к центру течении жидкости, например, в пористой трубе с одним заглушенным торцом (см. стр. 59 [24]). Профили (90) и (94) для лучшего сравнения на рис. 23 нанесены на профиль тени. При этом в выражениях (90) и (94) вместо H_mx использована максимальная длина тени l_Oshmx = 70.4 м. Как видно из графиков, профиль (90) для сходящегося течения значительно лучше согласуется с профилем тени, нежели профиль ламинарного течения (94). Имеющееся в правой части отличие наблюдаемого профиля тени от зависимости (90) вызвано влиянием снега на правой стороне бугра (рис. 22a).

          Природа образования воронки на Ямале неизвестна. В настоящее время существуют разные предположения о причинах ее возникновения. Полученный по тени профиль бугра (90) может быть объяснен стоком пласта льдистого вещества к центру бугра, вследствие чего происходит его вертикальное движение вверх. Насколько возможен такой механизм образования воронки могут показать только дальнейшие ее исследования.

          Рассмотренный пример использования феноменов Солнца для аэрокосмических исследований показывает большие потенциальные возможности этого метода.

10. Заключение

          Большие колебания оси вращения Земли объясняют колебания палеоклимата и имеют косвенное подтверждение в некоторых древних календарях и в исторических свидетельствах. Расшифровка древних календарей затруднена сложностью процессов, от которых зависят солнечные явления, фиксируемые календарями. Разработана теория феноменов Солнца, которая алгоритмизирована и реализована в виде программы в среде MathCad. В отличие от традиционной теории, основанной на уравнении Кеплера, в новой теории долгота λ годового движения Солнца в зависимости от номера дня года определяется по результатам точного решения задачи двух тел.

          Рассчитаны длительности сезонов, долготы светового дня, временные характеристики полярных дней и ночей, азимуты восходов и заходов Солнца, длины теней гномона и их азимуты, а также другие феномены Солнца для современной эпохи и для четырех экстремальных эпох на интервале 50 тысяч лет назад. По современной эпохе результаты подтверждены результатами традиционной теории феноменов Солнца и выполненными наблюдениями.

          Подведен итог по основным феноменам Солнца. Рассмотрены алгоритмы восстановления отдельных параметров орбитального и вращательного движения Земли, а также широты и возраста эпохи по древним календарям. Показаны возможности разработанного алгоритма и программы SunPhnmen.mcd при аэрокосмических исследованиях рельефа Земли.

Приложения
Программа для расчета феноменов Солнца
на основе результатов задачи двух тел

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Печатается в соответствии с решением Ученого Совета Института криосферы Земли
Сибирского отделения Российской академии наук от 16 декабря 2015 г., протокол No. 11.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------